補講１ 『２次方程式の解の公式』
２次方程式は解の公式を用いることで、どんな２次方程式も解くことが可能です。注） 解の公式を紹介します。
注）厳密には解の公式でルートの中の値がマイナスになる場合には、虚数解といい、高校２年で学習します。それ以前の学年では「解なし」として扱います。
それでは例題で解き方を学習してゆきましょう。
＜例題＞次の式を簡単にせよ。 |
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まずは(1)からです。
ルートの中の計算部分をじっくりと見てください。よくミスをします。
それでは(2)に移ります。
この解答のように×は・で表すこともあります。最後の部分で、6と9は約分できませんので注意してください。片側だけを約することはできません。
あえて約分するならば、
となりますが、普通はこのような変形はしません。
では(3)を解きます。
bの値、cの値ともマイナスであることに注意して、慎重に公式に当てはめます。しかし答えは整数になりました。つまり、「因数分解で解けたはず…」です。
実際、このような問題は、解の公式を使わずに
と解くことができます。このように、因数分解できるときに解の公式を用いると、時間がかかります。
続いて(4)です。
これも答えがなってしまいました。この問題も、やはり因数分解で解けるのです。
実際、『たすきがけ』（第４回 補講２）を使うと、
のように、すぐに解くことができます。
また、『たすきがけ』を使わないでも、解くことができます。
強引な解き方ですが、『たすきがけ』で解ける問題は、いつでもこの方法が使えます。
ポイントは先頭の数を何かの2乗で表せるように、両辺何倍かすることです。この問題では両辺を2倍にすることで2xの２乗となり、2xをひとまとまりと考えることで、通常の「かけて-8, たして7」となる２数を探したのです。
じっくりと解答を見て、変形を理解してください。
(5)に移ります。
解は重解になりますが、大変な計算となります。もちろんこの問題も因数分解できます。実際、
とすぐに解くことができます。16は4の2乗、9は3の2乗、24=4×3だからです。ですから、本来は解の公式を用いるべきではありませんが、あえて公式で解いてみました。
なお、公式を用いたときのルートの中の計算は、次のように変形すると少し楽になります。
最後の(6)です。
この問題は間違える箇所がたくさんあります。まずcのマイナスに注意して、慎重に公式に代入します。そして、途中のルート96のままで終わらないように気をつけます。さらに、最後に分母分子とも2で割って整頓します。
(2)でも説明したように、片方だけ約してしまうミスが多いので注意しましょう。なぜ両方を約す（全部を2で割る）のかは、次の式を見ると分かります。
大きい分数は、もともと小さい分数をまとめて書いているからです。
ちなみに、２次方程式を解の公式で解く場合、真ん中のxの係数が偶数のときには、最後に必ず約分することができます。このことを覚えておくとミスを減らせるはずです。
なお、２次方程式の解の公式には、真ん中のxの係数が偶数のときに使うと便利な、もう一つの公式があります。
余裕のある人は覚えておくと、さらにスピーディに解の公式で問題を解くことができます。
参考のために(6)をこの公式<2>を用いて解いてみます。
